Информация

Докладчик

Вводная часть

Объект и предмет исследования

• Модель хищник-жертва
• Язык программирования Julia
• ПО OpenModelica

Цель работы

Исследовать модель SIR (задача об эпидемии)

Задание

На одном острове вспыхнула эпидемия. Известно, что из всех проживающих на острове (N = 11100) в момент начала эпидемии (t = 0) число заболевших людей (являющихся распространителями инфекции) I(0) = 220, А число здоровых людей с иммунитетом к болезни R(0) = 44. Таким образом, число людей восприимчивых к болезни, но пока здоровых, в начальный момент времени S(0) = N − I(0) − R(0) = 10836. Постройте графики изменения числа особей в каждой из трех групп. Рассмотрите, как будет протекать эпидемия в случае: 1) если I(0) ≤ I^*; 2) если I(0) > I^*.

Теоретическое введение

Компартментальные модели являются очень общим методом моделирования. Они часто применяются к математическому моделированию инфекционных заболеваний. Население распределяется по отделениям с помощью меток – например, S, I, или R, (Susceptible, Infectious, or Recovered). Люди могут прогресс между отсеками. Порядок расположения меток обычно показывает структуру потоков между компартментами; например, SEIS означает восприимчивый, подверженный воздействию, инфекционный, затем снова восприимчивый.

Выполнение лабораторной работы

Реализация на Julia (1)

using Plots
using DifferentialEquations
# I0 <= I*
function sir(u,p,t)
    (S,I,R) = u
    (alpha, beta) = p
    N = S+I+R
    dS = 0
    dI = -beta*I
    dR = beta*I
    return [dS, dI, dR]
end

Реализация на Julia (2)

N = 11100
I_0 = 220
R_0 = 44
S_0 = N - I_0 - R_0
u0 = [S_0, I_0, R_0]
p = [0.01, 0.02]
tspan = (0.0, 200.0)
prob = ODEProblem(sir, u0, tspan, p)
sol = solve(prob, Tsit5(), saveat = 0.01)
plot(sol, label = ["S" "I" "R"], xlabel = "Время", 
    ylabel = "Число особей", 
    title = "Изменение числа особей")

Динамика изменения числа людей в каждой из трех групп

Реализация на OpenModelica

  parameter Real N = 11100;
  parameter Real alpha = 0.01;
  parameter Real beta = 0.02;
  parameter Real I0 = 220;
  parameter Real R0 = 44;
  parameter Real S0 = N-I0-R0;
  Real S(start=S0);
  Real I(start=I0);
  Real R(start=R0);
equation
    der(S) = 0;
    der(I) = -beta*I;
    der(R) = beta*I;

Динамика изменения числа людей в каждой из трех групп

Реализация на Julia (1)

function sir_2(u,p,t)
    (S,I,R) = u
    (alpha, beta) = p
    N = S+I+R
    dS = -alpha*S
    dI = alpha*S - beta*I
    dR = beta*I
    return [dS, dI, dR]
end
N = 11100
I_0 = 220
R_0 = 44

Реализация на Julia (2)

S_0 = N - I_0 - R_0
u0 = [S_0, I_0, R_0]
p = [0.01, 0.02]
tspan2 = (0.0, 1000.0)
tspan = (0.0, 200.0)
prob2 = ODEProblem(sir_2, u0, tspan, p)
sol2 = solve(prob2, Tsit5(), saveat = 0.01)
plot(sol2, label = ["S" "I" "R"], 
    xlabel = "Время", 
    ylabel = "Число особей", 
    title = "Изменение числа особей")

Динамика изменения числа людей в каждой из трех групп (время до 200)

Динамика изменения числа людей в каждой из трех групп (время до 1000)

Реализация на OpenModelica

parameter Real N = 11100;
  parameter Real alpha = 0.01;
  parameter Real beta = 0.02;
  parameter Real I0 = 220;
  parameter Real R0 = 44;
  parameter Real S0 = N-I0-R0;
  Real S(start=S0);
  Real I(start=I0);
  Real R(start=R0);
equation
    der(S) = -alpha*S;
    der(I) = alpha*S - beta*I;
    der(R) = beta*I;

Динамика изменения числа людей в каждой из трех групп

Выводы

В результате выполнения данной лабораторной работы я исследовала модель SIR.